正弦定理

正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具之一。

对于任意三角形ABC，设边长分别为a，b，c，对应的角度分别为A，B，C。那么有如下公式成立：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

该公式表明，三角形的任意一边与其对应的角的正弦值成比例。

应用

正弦定理可以用于求解三角形的边长、角度等问题。

例如，已知三角形的两个边长和一个夹角，可以利用正弦定理计算出第三个边长。

已知三角形ABC中，∠B = 60°，AB = 5 cm，BC = 7 cm，求AC的长度。

首先，利用正弦定理可以得到：$$\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B} = \frac{AC}{\sin C}$$

代入已知数据：$$\frac{5}{\sin A} = \frac{7}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin C}$$

解方程可以得到：$$\sin A = \frac{5}{AC} \cdot \sin 60°$$

通过计算可得：$$\sin A = \frac{5}{AC} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

整理得：$$AC = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

计算可得：$$AC \approx 5.77$$

正弦定理在解决三角形相关问题时，具有重要的应用价值。